MATEMÁTICAS BÁSICAS / GRADO 11

 

MATEMÁTICAS  BÁSICAS GRADO 11°

FUNCIONES RACIONALES

una función f  es una función racional  si  donde P(x) y Q(x) son polinomios  y Q(x) es diferente de cero ( 0).

DOMINIO Y RANGO DE UNA FUNCIÓN RACIONAL 

En el siguiente vídeo te muestra como encontrar el rango y el dominio en una función racional.

ASÍNTOTAS  EN UNA FUNCIÓN RACIONAL

El siguiente vídeo te proporciona información importante que te permitirá hallar las asíntota vertical y horizontal en una función racional.

ASÍNTOTAS HORIZONTALES, VERTICALES Y OBLICUAS.

Los siguientes vídeos te ilustrarán sobre cómo calcular las asíntotas en una función racional.

El siguiente vídeo te ilustra sobre como determinar el dominio, rango puntos de corte con los ejes y asíntotas.

FUNCIÓN CUADRÁTICA

Las funciones de la forma  se llaman cuadráticas  y generan representaciones gráficas  llamadas parábolas . la condición que debe cumplir  la ecuación cuadrática es que  a, b y c  pertenezcan al conjunto de los números reales (R) y a debe ser diferente de cero. donde ›

ɑ: coeficiente cuadrático y define la concavidad de la parábola.

b: coeficiente lineal

c: término independiente y determina el punto de corte de la función con el eje y.

Términos de la función cuadrática

las funciones cuadráticas es una función  determinada por polinomios de  de segundo grado  en una variable con coeficientes reales, es decir , cuyo dominio son los números reales.

Los coeficientes a, b y c pertenecen a los reales y el coeficiente a debe ser diferente de cero.

Las funciones cuadráticas se pueden expresar mediante la forma canónica de la siguiente manera:

Donde :

ɑ: Coeficiente cuadrático.

h : coordenada del vértice en el eje x (Xv)

k: coordenada del vértice en el eje y (Yv).

La representación gráfica de una función cuadrática es una parábola,  dicha  parábola tiene algunas características o elementos.

El siguiente vídeo muestra como representar gráficamente una función cuadrática.

El siguiente enlace te permite probar tus conocimientos sobre la representación gráfica de funciones.

Has clic aquí. Prueba tus conocimientos en la representación de funciones de manera entretenida.

ELEMENTOS DE  UNA PARÁBOLA

Elementos de la parábolas.

• Concavidad o abertura: es la orientación de las ramas o bazos  de la parábola . la concavidad de una parábola depende  del valor del término  cuadrático  a de la función;
•  si  entonces,  la parábola  es cóncava  hacia abajo ( abre hacia abajo )
•  si , entonces  la parábola es cóncava hacia arriba ( abre hacia arriba).

• Eje de simetría: Es una recta que divide  simétricamente  la curva  en dos partes iguales  y opuestas. su ecuación se halla mediante la fórmula 

Donde :

b = coeficiente lineal

a = coeficiente cuadrático

• Vértice: Es el punto de intersección entre la parábola y el eje de simetría . La coordenada del vértice de la parábola se pueden encontrar haciendo uso de la  fórmulas como las siguientes:

• Coordenada del vértice en  el eje x (Xv). Esta se calcula mediante la siguiente expresión:

• Coordenada del vértice en el eje y (Yv): Este valor se puede calcular remplazando el valor de la coordenada del vértice en el eje x, en la función f(x), donde está ubicado el valor de x, se resuelve la operación indicada y de esta forma se calcula la coordenada del vértice en el eje y.

• Intercepto con el eje y: Es el punto ( 0, c); dicho valor de halla  al remplazar x por cero (0) en la expresión 

• Intercepto con el eje x: son los puntos de cortes de la gráfica  con el eje x estos puntos donde la curva  interseca al eje x se llaman raíces o ceros de la ecuación cuadrática y se hallan  haciendo a y = 0 en , y despejando a x o  haciendo uso de la formula   

En las gráficas  siguientes  se puede ver tres  clases  de parábolas  y sus respectivas  raíces :

Ejemplo

El siguiente vídeo te permite poder ver ejemplos sobre cómo calcular los elementos de una función

Vídeos de aplicación del concepto de función cuadrática en la solución de problemas de la vida cotidiana

Vídeo sobre la  aplicación del  concepto de función cuadrática en el lanzamiento de proyectil

El siguiente enlace te permitirá realizar un repaso sobre  funciones cuadráticas y probar tus conocimiento en el calculo del vértice , identificar el tipo de  función al cual corresponde una representación gráfica de una parábola .

Has clic aquí - Prueba tus conocimientos de manera divertida. 

FUNCIÓN  DE PRIMER GRADO

Diapositivas con audio sobre función de primer grado y ecuación de la recta de la recta

Te invito a activar tus conceptos previos a partir de la siguiente situación de contexto real.

El siguiente vídeo te proporciona información sobre función de primer grado ( lineales y afín).

La función de primer grado es una función de la forma y= mx + b o f(x)= mx + b; donde  m representa la pendiente de la recta  o la razón  de cambio entre la variable x, b es el punto de intercepto  en el eje y. Esta función  es polinómica  de grado 1, es decir exponente 1 , el cual  generalmente no se escribe. Las funciones de primer grado pueden ser de tipo lineal o afín. 

Ejemplo de funciones de primer grado

Las funciones de primer grado, son todas aquellas funciones que el mayor exponente de la variable es 1.

• Una función afín es una función polinómica de primer grado, es decir, es una función que representada en la gráfica es una línea recta. Las funciones afines son de la siguiente forma:

Donde  es la pendiente de la recta y  es la ordenada en el origen, es decir, donde la función corta con el eje vertical o eje y. La representación gráfica de este tipo de función nunca pasan por el origen o punto de coordenada (0,0)

Este tipo defunción se utiliza para modelar situaciones  de la vida cotidiana que parten e una valor inicial o un cargo básico y que se van incrementando en un valor constante por cada unidad.

El siguiente vídeo te permite complementar la información sobre función afín.

Ejemplo de expresiones algebraicas de este tipo de función.

A. Sea una función f(x) = 2x-2. En este caso, m que es el coeficiente que multiplica a la x es m = 2 y la ordenada es n = -2.

La pendiente de la recta de la función es positiva (m = 2), por lo tanto, la función es creciente.

Como la ordenada es n = -2, la recta corta al eje de ordenadas por el punto (0,-2).

B. función afín f(x) = –x+3. En este caso, la pendiente es m = -1 y la ordenada es n = 3, siendo ambos diferentes de 0.

la pendiente es negativa (m = -1), por lo que la función es decreciente.

La ordenada es n = 3, por lo que el punto de corte entre la función y el eje de ordenadas es el punto (0,3).

Ejemplo de modelación y representación de situaciones cotidianas donde se utiliza este tipo de función.

Ejemplo 1

Todos los equipos que participan en un torneo, por participar reciben dos puntos inicialmente. El número de puntos de cada equipo , incluye los dos puntos que se otorgan inicialmente por participar más tres puntos por cada gol que realice.  Si el número de goles los representamos con la letra x y el número de puntos según el número de goles con la letra P(x).

¿ Cuales la expresión algebraica de la función que permite calcular el número de goles?

Datos

X= número de goles

P(x)=número de puntos de cada equipo

Número de puntos iniciales: n= 2 

Número de puntos por cada gol realizado: m =  3

La expresión algebraica de la función que permite calcular  el número de goles P(x) es:

P(x) = 3x + 2------- función de primer grado de tipo afín, donde la pendiente  m = 3 y el punto de corte con el eje y o intercepto es  n = 2.

Tabla de valores 

Este tipo de función no pasa por el origen, porque cuando el número de goles es cero, el número de puntos es 2.

Representación gráfica en el plano cartesiano

En la representación gráfica de este tipo de funciones se observa que su punto de corte con el eje y corresponde a n, que en contexto corresponde al número de puntos iniciales y el valor de la pendiente m corresponde a 3, que representa el número de puntos que se otorga por cada gol que realiza el equipo.

Ejemplo 2

 En un depósito de agua hay inicialmente 12 litros de agua, se abre una llave  la cual vierte 6 litros por minuto. Si El número de minutos en el cual se abre la llave lo nombramos como x y la cantidad de agua en litro que hay en el depósito como C(x).

La función que permite determinar la cantidad de agua que hay en el deposito C(x), de acuerdo al número de minutos que se abre la llave x, es :

C(x) = 12 + 6x ------Función de tipo afín, donde n = 24 y m = 6

Donde :

n= 24------ representa el valor inicial

m=6 ---- es el número de metros cúbicos que vierte la llave cada minuto y representa la pendiente, el valor en el que se incrementa la cantidad de agua del depósito cada minuto.

C(x)= Cantidad de agua que hay en el depósito en función del número de minutos que la llave esté abierta.

x= número de minutos en los que la llave está abierta.

Tabla de valores

Representación gráfica en el plano cartesiano

función de primer grado de tipo lineal

•  función lineal es una función afín que no tiene término independiente. Por lo tanto, la fórmula de las funciones lineales es la siguiente:

Donde m es la pendiente y n = 0. Este tipo de función siempre pasan por el origen es decir el punto de coordenada (0,0).

La representación gráfica de este tipo de función en el plano cartesiano, corresponde a una recta que siempre pasa por el origen, punto de coordenada (0,0).

La m es la pendiente de la recta. La pendiente es la inclinación con respecto al eje X (eje de abscisas). Si m es positiva (m > 0), entonces la función es creciente. En cambio, si la m es negativa (m < 0), entonces la función es decreciente.

El siguiente vídeo te permite complementar la información sobre función de primer grado de tipo lineal.

Ejemplo de función de primer grado de tipo lineal

f(x) = 2x

Tabla de valores 

Representación de la función en el plano cartesiano

Ejemplo de situaciones cotidianas que se puede modelar por medio de de función de primer grado de tipo lineal.

1. Juliana tiene un punto de venta de minutos para llamar, cada minuto tiene un costo de $200. Si los ingresos de Juliana por la venta de minutos lo nombramos con la letra I(x) y el número de minutos como x. ¿ Cual es la expresión algebraica de la función que permite representar esta situación?

Datos.

Valor de la llamada por minuto: $200  

Ingresos de acuerdo al número de minutos de llamadas vendidos: I(x)

Número de minutos de llamadas vendidos: x

Ingresos = Costo por minutos de llamada *número de minutos de llamadas vendidos

solución.

I(x) = 100 x  ----- Función de tipo lineal

2. Jorge, se trasporta a en su moto a una velocidad constante de 40 km/h. si el número de horas que dura el recorrido se representa con la letra t y la distancia recorrida d(t). ¿ Cual es la expresión algebraica de la función que permite calcular la distancia recorrida en función del tiempo d(t)?

Datos

Tiempo que tarda el recorrido en horas: t

Distancia recorrida de acuerdo al tiempo : d(t)

Velocidad constante : 40 km/h

Solución

Distancia recorrida: d(t)= velocidad * tiempo

d(t) = 40*t      ------ función de tipo lineal, donde la pendiente m = 40 y representa la distancia recorrida por cada hora.

A continuación se muestra un conjunto de funciones representadas en el plano cartesiano, donde a partir de la información anteriormente dada, puedes identificar y argumentar cuales son de tipo lineal y cuales de tipo afín. 

El siguiente vídeo te permite ilustrar el concepto de función lineal y afín por medio de situaciones de la vida real y al mismo tiempo permite identificar similitudes y diferencia entre estos dos conceptos.

TE RETO A IDENTIFICAR Y ARGUMENTA CUÁLES DE LAS SIGUIENTES FUNCIONES SON LINEALES O AFÍN.

ACTIVIDAD DE PUNTO EXTRA- COLOCA A PRUEBA TUS CONOCIMIENTOS. COMPLETAS LAS SIGUIENTES TABLAS DE VALORES Y DETERMINA SILA FUNCIÓN ES DE TIPOLINEAL O AFÍN.

ACTIVIDAD DE AFIANZAMIENTO -FUNCIÓN LINEAL Y AFUNCIÓN AFÍN.

PENDIENTE DE LA RECTA

El siguiente vídeo te ilustra sobre la pendiente de una recta y cómo calcularla.

En una función de primer grado según el valor de la pendiente esta función puede ser :

Función creciente: si el valor de la pendiente es positivo, lo que indica que a medida de que los valores de x crecen los valores de y crecen En este caso  la pendiente es positiva m ( mayor que cero)

Función constante: Una función es constante cuando a medida que los valores de x aumenta el valor de y no cambia, es decir es el mismo ( constante).En este caso la pendiente es cero 0).

Función decreciente: Una función es decreciente cuando a medida que los valores de x crecen los valores de y disminuyen, en este caso la pendiente es negativa ( m menor que cero )

Para hallar la pendiente de la recta en una función lineal  a partir  de dos puntos  basta con remplazar  las coordenadas (X1, Y1), y ( X2, Y2), en la siguiente formula:

Ejemplo

RESPONDER LAS PREGUNTAS 1 Y 2 DE ACUERDO A LA SIGUIENTE INFORMACIÓN.

Dada la función de primer grado ( ver imagen). responder:

1. Calcular la pendiente la función representada en la gráfica de una función de primer grado. Determinar la pendiente de la recta.

Solución.

Para determinar la pendiente de la recta, se identifica la coordenadas de dos de los puntos ubicados en la representación gráfica de la función:

Coordenadas del punto A o punto 1: ( 1,1)

Coordenada del punto B o punto 2: ( 2, -2)

Pendiente de la recta :   =  ( - 2 - 1) / ( 2-1) = -3/1 = - 3

La pendiente de la recta es m = -3 ., lo que significa que por cada unidad que se desplaza en el eje x, desciende 3 unidades en el eje y.

2. Determinar la expresión algebraica de la función representada en la representación gráfica.

Datos

Pendiente : m = -3

Punto de corte de la función con el eje y : n = 4.

Solución.

Para determinar la expresión algebraica de funciones de primer grado que permite representar la función de primer grado mostrada en la grafica, es importante tener en cuenta que la forma general de toda función de primer grado tiene una forma general:

f(x) = mx + n

Se conoce que:

la pendiente de la recta es m= - 3, esta se calculo en el punto 1.

Punto de corte con el eje y : n = 4

Para determinar la expresión algebraica de la función, se remplazan los valores de m y de n en la fórmula general de la función de  primer grado :

Es una función de primer grado de tipo afín  con una pendiente m = -3, es una función creciente  y su punto de corte con el eje y n = 4.

RESPONDE LAS PREGUNTAS 3 Y 4 DE ACUERDO A LA SIGUIENTE INFORMACIÓN.

Luis trabaja en una empresa de fabricación de muebles de madera. su salario incluye un salario básico de $ 480.000.  se conoce que cuando fabrica 5 muebles recibe un salario mensual de $ 705.000, representados como una coordenada   ( 5, 705.000) y cuando fabrica 12 muebles recibe un salario mensual de 1.020.000, representados como una coordenada ( 12, 1.020.000).

1. Calcular cuanto dinero  recibe Luis por cada mueble que fabrica ( pendiente m).

Datos 

Salario básico: n : $480.000

A partir de la información proporcionada se tiene dos puntos que pertenecen a la función ingreso, un punto 1 de coordenada  ( 5, 705.000) y un punto 2, de coordenada (12, 1.020.000).

Solución

Como se conocen las coordenadas de dos puntos de la función punto 1 y punto 2, con esta información se puede encontrar el valor por cada mueble fabricado, lo cual corresponde a la pendiente m:

CALCULO DE LA PENDIENTE DE UNA RECTA.

PENDIENTE DE LA RECTA A PARTIR DE SU GRÁFICA 

                       

SOLUCIÓN DE PROBLEMAS UTILIZANDO EL CONCEPTO DE FUNCIÓN LINEAL O AFÍN 

CONSTRUCCIÓN DE LA ECUACIÓN DE LA ECUACIÓN DE LA RECTA.

La ecuación de la recta se puede construir de dos formas:

•          Conociendo dos puntos sobre ella.
•           Conociendo un punto y su pendiente.

Ecuación de la recta conociendo dos puntos. Al conocer las coordenadas de dos puntos A( X1,Y1) y B ( X2,Y2) que pertenece a una recta cuya ecuación está dada por la expresión:

Se remplazan los valores de las coordenadas en la expresión y se calcula la expresión f(x) en función de la variable independiente x.

Ejemplo: Encuentre la función asociada a la recta que pasa por los puntos A ( 2,4) y B ( 4,  8).

Remplazamos en  

 Donde f(x)= 2x ; es la función lineal asociada a la recta que pasa por los puntos ( 2,4) y ( 4, 8)

El siguiente vídeo te permite complementar tus conocimientos sobre cómo calcular la ecuación de una recta conociendo la coordenada dedos puntos ubicados sobre esta.

Ecuación de la recta dado un punto y su pendiente.

Al conocerla pendiente de la recta y la coordenada de un punto sobre la recta podemos encontrar la función de la recta utilizando la siguiente expresión:

Para encontrar esta expresión algebraica, se remplaza en la expresión algebraica el valor de la pendiente m y los valores que comprende la coordenada (x1, y1) y se despeja f(x) y se expresa en función de x.

Ejemplo: Encuentre la ecuación de la recta de pendiente 3 y que pasa por los puntos (2 y 5)

Solución: tenemos los siguientes datos: m = 3 y (2,5).

EL SIGUIENTE SIMULADOR TE PERMITE DETERMINAR LA ECUACIÓN DE LA RECTA DEPENDIENDO DE LA COORDENADA DE UN PUNTO Y LA PNEDIENTE DE LA RECTA.

SIMULADOR PARA DETERMINAR LA ECUACIÓN DE LA RECTA

El siguiente vídeo te permite complementar tus conocimientos sobre como hallar la ecuación de la recta conociendo un punto y la pendiente .

eL SIGUIENTE ENLACE TE LLEVA A UN LUGAR MUY INTERESANTE QUE TE PERMITE PRACTICAR SOBRE PENDIENTES, CALCULO DE LA ECUACIÓN DE LA RECTA Y A COLOCAR A PRUEBAS TUS CONOCIMIENTOS.

COLOCA A PRUEBA TUS CONOCIMIENTOS SOBRE PENDIENTE Y ECUACIÓN DE LA RECTA.

ECUACIÓN DE RECTAS PENDIENTE Y RECTAS PERPENDICULARES.

Rectas paralelas

Las rectas paralelas son las que tienen la misma inclinación y no presentan ningún punto en común, esto significa que nunca se cruzan.

Conclusión:  Dos rectas en el plano son paralelas si tienen igual pendiente.

m1 = m2 ⇔ L1 // L2

Ejemplo de rectas paralelas:

El siguiente vídeo te proporciona información sobre rectas paralelas en e plano cartesiano.

                                                      Rectas perpendiculares 

 

Dos rectas son perpendiculares cuando forman un ángulo recto. En las siguientes imágenes puede observar segmentos de rectas perpendiculares:

Conclusión Dos rectas en el plano son perpendiculares si al multiplicar sus pendientes obtenemos resultado  m1 • m2 = -1⇔ L1 ⊥ L2

El siguiente vídeo te ilustra sobre rectas perpendiculares en el plano cartesiano.

Ejemplo

Calcular la ecuación de la recta  que pasa por un punto de coordenadas ( 2,5 ) y es paralela a la recta Y = 4x - 5.

Datos 

Coordenada ( 2,5)

función de la recta paralela a la recta dada y = 4x - 3.

Ojo: Cuando dos recta son paralelas, es porque tienen la misma pendiente, por tal razón la pendiente de la recta que se desea determinar su ecuación es m = 4.

Solución.

Para determinar la ecuación de la recta  se conoce la coordenada de uno de sus puntos ( 2,5)  y la pendiente de dicha recta m = 4.  Con esta información se puede encontrar la ecuación de la recta utilizando la expresión:

En el siguiente vídeo encontrarás información sobre rectas paralelas y perpendiculares